Matrices y aplicaciones

MARINA MARTÍN (2º BACH LT)



INDICE
¿Qué es una matriz?.
Algunos tipos de matrices
¿Cómo se calcula?
Historia de las matrices
Enlaces con ejercicios




¿Qué es una matriz?

Las matrices son el conjunto de números reales organizados en filas y columnas. Es una herramienta muy importante para expresar y discutir problemas que surgen en la vida real, sobre todo económicos como a la hora de tener un negocio, por ejemplo, en el que a menudo es necesario calcular y combinar ciertos costes y cantidades de productos. Estas cifras se presentan en tablas pero podemos agrupar los datos en un rectángulo que nos muestre una representación más clara y fácil. Esta representación es la matriz.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía (como hemos dicho anteriormente), informática, física, etc...


Algunos tipos de matrices
Atendiendo a la forma

Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1*n.
Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m*1.
Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por A^t, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna de A^t , la segunda fila de A es la segunda columna de A^t, etc.



Atendiendo a los elementos

Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0.
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.
Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.


¿Cómo se operan?
En cuanto al cálculo, para sumar o restar matrices la única condición que deben tener es que sean de las mismas dimensiones con igual número de lineas (filas y columnas) y después realizar la suma o la resta, como se muestra en la imagen:
Para calcular el producto por un número hay que multiplicar el número por cada elemento de la matriz.
Para el producto de matrices no se necesita la condición de la suma o la resta sino que para que dos matrices puedan multiplicarse (A*B) es importante ver la dimensión de las matrices a multiplicar de tal manera que si tenemos una matriz A=(3x2) (3 filas, 2 columnas) no podemos multiplicarla por una Z=(1x5) sino por una B=(2x3), por ejemplo; de tal manera que el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B (en nuestro ejemplo ese número debería ser 2) ya que estamos teniendo en cuenta que el producto de matrices no es conmutativo y que debe hacerse en el orden correcto ya que no es lo mismo A*B que B*A en el caso de las matrices. Así vemos que el proceso para multiplicar matrices es más complicado que para sumarlas o restarlas y lo explicaremos mejor mediante un ejemplo:
Para la potenciación (ej/ A^3) hay que multiplicar la matriz por si misma el número n de veces (el que marque la potencia). No influye el orden en el que se multiplican (A*A^2 o A*2*A)


Un poco de historia de las matrices
El primero que empleó el término "matriz" fue el matemático inglés James Joseph Sylvester en el año 1850. Sin embargo, hace más de dos mil años los matemáticos chinos habían descubierto ya un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales equivalente al método de Gauss y por lo tanto empleaban tablas con números.

Pero hasta el Siglo XIX no se desarrolla en las matemáticas el Álgebra de matrices. A este desarrollo contribuyó de forma decisiva el matemático inglés Arthur Cayley. En 1858 publicó unas “Memorias sobre la teoría de matrices” en la que daba la definición de matriz y las operaciones suma de matrices, de producto de un número real por una matriz, de producto de matrices y de inversa de una matriz. Cayley afirma que obtuvo la idea de matriz a través de la de determinante y también como una forma conveniente de expresar transformaciones geométricas



Enlaces de ejercicios de matrices
A continuación se mostrarán seis páginas con el contenido tratado aquí para practicar ejercicios con matrices. Cabe destacar la cuarta página (http://wims.linex.org) en la que se puede elegir el tipo de ejercicio y el tiempo límite para desarrollarlo.

1- http://www.vitutor.com(...)
2- http://www.fisicanet.com.ar(...)
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4- http://wims.linex.org(...)
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