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En la expresión ab
=c "a" es la base y "b" es el exponente.
En
la expresión loga c= b, "a" se denomina base del
logaritmo y b se llama argumento, con a>0,
b>0 y a ¹1.
La base de la potencia
ha pasado a ser la base del logaritmo, y el exponente el resultado
del logaritmo; el argumento era el resultado de la potenciación,
parece complicado, pero con un ejemplo es más fácil de ver.
2x= 32
esto es algo incómodo de calcular, así que se
recurre a los logaritmos log232=x
En otras palabras, el resultado del logaritmo en base x de un número
es el exponente al que hay que elevar la base x para obtener el
número. Cualquier número real positivo se puede
expresar con logaritmos. log105=0.6 ,
porque 100.6=5 Un número negativo no puede
ser el resultado de una potencia.
Propiedades:
Las
cuatro últimas propiedades encierran la utilidad de los logaritmos:
trabajando con exponentes, el producto se convierte en suma; el
cociente, en diferencia; la potencia, en producto; y la raíz en
cociente. Todas las operaciones se transforman en otra más sencilla.
Logaritmos decimales
Los logaritmos decimales son aquellos cuya base es 10 , son los más
comunes para operar, y se representan como log x=y
Logaritmos neperianos
Después de estudiar diversos fenómenos de crecimiento y
decrecimiento en la Naturaleza (por ejemplo: aumento de una
población de bacterias, desintegración radiactiva, etc.), se observó
que una y otra vez aparecían las potencias de un número irracional
al que se llamó el “ número e ”:
Para estudiar
esos fenómenos son muy útiles los logaritmos cuya base es el número
e , llamados logaritmos neperianos en honor de John Neper. Se
representan así: ln x = log e x
Cambios de base de logaritmos
Para
intercambiar logaritmos en base 10 con logaritmos neperianos podemos
aplicar esta fórmula:
ln x = log x /
log e
En general para
intercambiar bases podemos utilizar esta fórmula:
Función logarítmica:
Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como
f (x) == logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser
positiva y distinta de 1.
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.
Ecuaciones logarítmicas
Cuando en una ecuación la variable o incógnita aparece como
argumento o como base de un logaritmo, se llama logarítmica.
La resolución de ecuaciones logarítmicas se basa en los mismos
procedimientos utilizados en la resolución de las ecuaciones
habituales. Aunque no existen métodos fijos, habitualmente se
procura convertir la ecuación logarítmica en otra equivalente donde
no aparezca ningún logaritmo. Para ello, se ha de intentar llegar a
una situación semejante a la siguiente:
loga f (x) = loga g (x)
Entonces, se emplean los antilogaritmos para simplificar la
ecuación hasta f (x) = g (x), que se resuelve por los métodos
habituales.
También puede operarse en la ecuación logarítmica para obtener
una ecuación equivalente del tipo:
loga f (x) = m
de donde se obtiene que f (x) = am, que sí se puede resolver de
la forma habitual.
Sistemas de ecuaciones logarítmicas
Cuando en un sistema aparecen una o varias ecuaciones
logarítmicas, se denomina sistema de ecuaciones logarítmicas. En el
caso de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, se pueden
producir tres casos distintos:
- Un sistema formado por una ecuación polinómica y una
logarítmica.
- Un sistema constituido por dos ecuaciones logarítmicas.
- Un sistema compuesto por una ecuación polinómica y una
ecuación exponencial.
En cada caso, se utilizan los métodos habituales de resolución de
sistemas de ecuaciones, teniendo siempre presente que estas
ecuaciones han de transformarse en otras equivalentes, donde la
incógnita no aparezca en el argumento o la base del logaritmo, ni en
el exponente de la función exponencial.
Algunos links a sitios con ejercicios:
Ejercicios
1
Ejercicios 2
Ejercicios 3
(recomendada)
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