Los números irracionales y reales.

Introducción
Definición e historia
Operaciones y ejercicios
Aplicaciones.
 
 
 


Definición e historia

            Para entender lo que es un número irracional y uno real, primero debemos tener claros los distintos tipos de números que hay, que son:

  • Números naturales: Un número natural es cualquiera de 0 en adelante, que se puede usar para contar (1 manzana, 3 lápices, 27 alumnos).. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.  Existe cierta polémica sobre si el cero está incluido o no en el conjunto de los naturales. Algunos matemáticos prefieren no reconocer el cero como un número natural, mientras que otros, tienen la postura opuesta. El conjunto de los números naturales se escribe N. Curiosidad: Origen del 0

  • Números enteros: Abarcan a los números naturales, al 0 y a los números negativos, que a partir de ahora llamaremos enteros negativos. Un número entero negativo representa una cantidad en contra, una carencia, algo que no se tiene o que se debe. Se utiliza números negativos para medir valores en una escala que vaya por debajo de cero, como la temperatura, o para registrar transacciones financieras que expresan deuda: las cantidades que se deben o se pierden se suelen indicar utilizando números negativos. El conjunto de los números enteros se escribe Z.

  • Números racionales: Abarcan a los números Enteros, y a los números fraccionarios. Una fracción es un número que se obtiene dividiendo un número por otro; el de arriba se llama numerador y el de abajo denominador. Los números enteros también se pueden expresar como números fraccionarios:  5=5/1 = 25/5... Un número fraccionario puede a su vez ser decimal exacto o periódico. (ver operaciones y ejercicios). El conjunto de los números racionales se escribe como Q. Curiosidad: Historia de los decimales

  • Números reales: Abarcan a los números racionales y a los números irracionales. Un número irracional es un número decimal infinito no periódico. Los números irracionales no surgen de fracciones. Hay multitud de ellos como: п, Ф, e... Muchos irracionales también surgen de raíces, como .

Estos números, junto a los imaginarios, están incluidos dentro de los complejos, que no vamos a estudiar en esta página.

¿No te ha quedado del todo claro? Entonces puedes mirar este diagrama de inclusiones.


    \mathbb{C} \mbox{    Complejos}
    \begin{cases} 
        \mathbb{R} & \mbox{Reales}
        \begin{cases}
            \mathbb{Q} & \mbox{Racionales}
                \begin{cases}
                    \mathbb{Z} & \mbox{Enteros}
                    \begin{cases}
                        \mathbb{N} & \mbox{Naturales} \\
                                   & \mbox{Enteros negativos}
                    \end{cases}\\
                                & \mbox{Fraccionarios}
                \end{cases}\\
                       & \mbox{Irracionales}
        \end{cases}\\
         & \mbox{Imaginarios}
    \end{cases}

Curiosidad: Historia de los números irracionales

 

Historia de los números irracionales más famosos.

Su historia también está aquí >>Historia de los números irracionales<<

  • Número π

Para calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado 8/9 del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando la constante pi (3,14). Uno de los documentos mas importantes de origen egipcio es el "Papiro Rhind" que data del siglo XVII a.C. En dicho papiro aparece un método para calcular el área de un círculo. Este conocimiento, según el copista, es anterior al siglo XIX a.C. La regla para calcular el área dice: tomar el diámetro. Restar la novena parte. De esta diferencia tomar nuevamente la novena parte y restar de la anterior. Multiplicar el resultado por el diámetro. Tal es el área del círculo.

Pi, letra griega (π) usada en matemáticas como el símbolo del cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. El matemático griego Arquímedes afirmó correctamente que el valor de Pi se encuentra entre 3 +1/7 y 3 + 10/71 .

El valor asignado a pi surgía de un círculo cuyo diámetro era un número entero y su longitud un número muy próximo a otro entero.

Efectivamente, se tomaba como referencia una circunferencia de diámetro igual a 7 y longitud muy próxima a 22.

22/7 = 3,1428571

En 1652, William Oughtred utilizó π /δ para referirse al cociente entre la circunferencia y el diámetro, usando sin duda la letra griega π (pi) para indicar la circunferencia o periferia y la letra δ(delta) para indicar el diámetro.

El símbolo π fue usado por primera vez para representar esta razón en 1706 por el matemático inglés William Jones, pero su uso no se generalizó hasta su adopción por el matemático suizo Leonhard Euler en 1737.

En 1882 el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró que pi es un número trascendente, esto es, no puede ser la raíz de una ecuación polinómica con coeficientes racionales. De esta manera, Lindemann fue capaz de demostrar la imposibilidad de la cuadratura del círculo algebraicamente o usando la regla y el compás.

Aunque pi es un número irracional, es decir, tiene un número infinito de cifras decimales, se puede calcular con la exactitud deseada utilizando series. Pi ha sido calculada con cien millones de cifras decimales utilizando ordenadores, aunque esta precisión carece de utilidad práctica.

  • Número e

Quizá todavía no te enteres de mucho, pero según vayas aumentando tu conocimiento matemático, podrás llegar a comprenderlo mejor. Y si quieres comprender mejor los logaritmos, puedes ver esta página: >>Logaritmos<<

El número e llega por primera vez a las matemáticas de forma muy discreta. Sucedió en 1618 cuando, en un apéndice al trabajo de Napier sobre logaritmos, apareció una tabla dando el logaritmo natural de varios números. Sin embargo, no se reconoció que estos fueran logaritmos en base e, ya que la base sobre la que se calculan los logaritmos no surgió en la manera en la que se pensaba en los logaritmos en aquel entonces. Aunque hoy consideramos a los logaritmos como los exponentes a los que se debe elevar una base para obtener el número deseado, esta es una forma moderna de pensar. Regresaremos después a este punto. Dicha tabla en el apéndice, aunque no tiene el nombre del autor, es casi seguro que fue escrita por Oughtred. Unos años después, en 1624, e estuvo a punto de volver a la literatura matemática pero no lo logró. En ese año, Briggs dio una aproximación numérica al logaritmo base diez de e sin mencionar a e específicamente en su trabajo.

La siguiente posible aparición de e es de nuevo dudosa. En 1647, Saint-Vincent calculó el área bajo una hipérbola rectangular. Si reconoció o no la conexión con los logaritmos es debatible y, aún si lo hubiera hecho, no había realmente razón para que se encontrara explícitamente con el número e. Sin lugar a dudas, hacia 1661 Huygens comprendió la relación entre la hipérbola rectangular y el logaritmo. Examinó explícitamente la relación entre el área bajo la hipérbola rectangular yx = 1 y el logaritmo. Por supuesto, el número e es tal que el área bajo la hipérbola rectangular entre 1 y e es igual a 1. Ésta es la propiedad que hace que e sea la base de los logaritmos naturales pero los matemáticos de la época no lo entendían, aunque se estaban acercando lentamente a ello.

Huygens hizo otro avance en 1661. Definió una curva a la que llamó 'logarítmica' pero no en los términos en los que nosotros nos referimos a una curva exponencial, con la forma y = kax . Nuevamente, a partir de esto sale el logaritmo base 10 de e, que Huygens calculó a 17 decimales. Sin embargo, en su trabajo aparece como el cálculo de una constante y no es reconocida como el logaritmo de un número (cerca otra vez pero e sigue sin ser reconocido).

Hay trabajos posteriores sobre los logaritmos en los que todavía no aparece el número e como tal pero que contribuyen al desarrollo de los logaritmos. En 1668, Nicolás Mercator publicó Logarithmotechnia que contiene la expansión en serie de log (1+ x ). En este trabajo, Mercator usa el término 'logaritmo natural' por primera vez para los logaritmos en base e. El número e otra vez no aparece explícitamente y continúa escondido en las cercanías.

Hasta donde sabemos, la primera vez que el número e aparece explícitamente es en 1690. En ese año, Leibniz le escribió una carta a Huygens en la que usa la notación b para lo que nosotros hoy llamamos e. Por fin el número e tenía nombre (aunque no sea el actual) y era reconocido.

  • Número aúreo o Φ

Existen numerosos textos que sugieren que el número áureo se encuentra como proporción en ciertas estelas Babilonias y Asirias de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo no existe documentación histórica que indique que el número áureo fue usado conscientemente por los arquitectos o artistas en la construcción de las estelas. También es importante notar que cuando se mide una estructura complicada es fácil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Además para que se pueda considerar que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse desde puntos relativamente obvios del objeto y este no es el caso de los elaborados teoremas que defienden la presencia del número áureo. Por todas estas razones Mario Livio concluye que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el número áureo.[1]

El primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides (c. 300-265 a. C.), quién lo definió de la siguiente manera:

"Se dice que una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor."

Euclides en Los Elementos.
Euclices demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros, es decir es irracional.

Platón (c. 428-347 a. C.) vivió antes de que Euclides estudiara el número áureo, sin embargo, a veces ese le atribuye el desarrollo de teoremas relacionados con el número áureo debido que el historiador griego Proclo escribió:

"Eudoxo... multiplicó el número de teoremas relativos a la sección a los que Platón dio origen."

Proclo en Un comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides.
Aquí a menudo se interpretó la palabra sección (τομή) como la sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretación ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusión de que la palabra sección no tuvo nada que ver con el número áureo. No obstante, Platón consideró que los números irracionales, descubiertos por los pitagóricos, eran de particular importancia y la llave a la física del cosmos. Esta opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y matemáticos posteriores, en particular los neoplatónicos.

A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el número áureo, Platón se dio a la tarea de estudiar el origen y la estructura del cosmos, cosa que intentó usando los cinco sólidos platónicos, construidos y estudiados por Teaetus. En particular, combinó la idea de Empédocles sobre la existencia de cuatro elementos básicos de la materia, con la teoría atómica de Demócrito, para Platón cada uno de los sólidos correspondía a uno de las partículas que conformaban cada uno de los elementos. Según Platón, la tierra estaba asociada al cubo, el fuego al tetraedro, el aire al octaedro, el agua al icosaedro, y finalmente el Universo como un todo, estaba asociado con el dodecaedro.

En 1509 el matemático y teólogo Luca Pacioli publica su libro De Divina Proportione (La Proporción Divina), en el que plantea cinco razones por las que considera apropiado considerar divino al Número áureo:

La unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la unicidad de Dios.
El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad.
La inconmesurabilidad; para Pacioli la inconmesurabilidad del número áureo, y la inconmesurabilidad de Dios son equivalentes.
La Autosimilaridad asociada al número áureo; Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios.
Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el dodecaedro; el número áureo dio ser al dodecaedro.
En 1525, Alberto Durero publica Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.

El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), desarrolló un modelo Platónico del Sistema Solar utilizando los sólidos platónicos, y se refirió al número áureo en términos grandiosos

“La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa”

Johannes Kepler en Mysterium Cosmographicum (El Misterio Cósmico).
El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de oro, para referirse a este número lo hace el matemático alemán Martin Ohm, hermano del célebre físico Georg Simon Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libro Die Reine Elementar Matematik (Las Matemáticas Puras Elementales). Ohm escribe en una nota al pie:

"Uno también acostumbra llamar a esta división de una línea arbitraria en dos partes como éstas la sección dorada."

Martin Ohm en Die Reine Elementar Matematik (Las Matemáticas Puras Elementales).
A pesar de que la forma de escribir sugiere que el término ya era de uso común para la fecha, el hecho de que no lo incluyera en su primera edición sugiere que el término pudo ganar popularidad alrededor de 1830.

En los textos de matemáticas que trataban el tema, el símbolo habitual para representar el número áureo fue τ del griego τομή que significa corte o sección. Sin embargo, la moderna denominación Φ ó φ, la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en honor a Fidias ya que ésta era la primera letra de su nombre escrito en griego (Φειδίας). Este honor se le concedió a Fidias por el máximo valor estético atribuido a sus esculturas, propiedad que ya por entonces se le atribuía también al número áureo. Mark Barr y Schooling fueron responsables de los apéndices matemáticos del libro The Curves of Live, de Sir Theodore Cook.

Su fórmula es:



 


 


 

 

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