Para entender lo que es un número
irracional y uno real, primero debemos tener claros los
distintos tipos de números que hay, que son:
-
Números
naturales: Un número natural es cualquiera de 0 en adelante,
que se puede usar para contar (1 manzana, 3 lápices, 27
alumnos).. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que
utilizó el ser humano para contar objetos. Existe
cierta polémica sobre si el cero está incluido o no en el
conjunto de los naturales. Algunos matemáticos prefieren no
reconocer el cero como un número natural, mientras que
otros, tienen la postura opuesta. El conjunto de los números
naturales se escribe N. Curiosidad:
Origen del 0
-
Números
enteros: Abarcan a los números naturales, al 0 y a los
números negativos, que a partir de ahora llamaremos enteros
negativos. Un número entero negativo representa una cantidad
en contra, una carencia, algo que no se tiene o que se debe.
Se utiliza números negativos para medir valores en una
escala que vaya por debajo de cero, como la temperatura, o
para registrar transacciones financieras que expresan deuda:
las cantidades que se deben o se pierden se suelen indicar
utilizando números negativos. El conjunto de los números
enteros se escribe Z.
-
Números
racionales: Abarcan a los números Enteros, y a los números
fraccionarios. Una fracción es un número que se obtiene
dividiendo un número por otro; el de arriba se llama
numerador y el de abajo denominador. Los números enteros
también se pueden expresar como números fraccionarios:
5=5/1 = 25/5... Un número fraccionario puede a su vez ser
decimal exacto o periódico. (ver
operaciones y ejercicios). El conjunto de los números
racionales se escribe como Q. Curiosidad:
Historia de los decimales
-
Números
reales: Abarcan a los números racionales y a los números
irracionales. Un número irracional es un número decimal
infinito no periódico. Los números irracionales no surgen de
fracciones. Hay multitud de ellos como: п, Ф, e...
Muchos irracionales también surgen de raíces, como
.
Estos números,
junto a los imaginarios, están incluidos dentro de los
complejos, que no vamos a estudiar en esta página.
¿No te ha quedado
del todo claro? Entonces puedes mirar este diagrama de
inclusiones.
Curiosidad: Historia de los números
irracionales
Historia de los números irracionales más famosos.
Su historia
también está aquí >>Historia de los números
irracionales<<
Para calcular el
área de un círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado
8/9 del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se
obtiene utilizando la constante pi (3,14). Uno de los documentos
mas importantes de origen egipcio es el "Papiro Rhind" que data
del siglo XVII a.C. En dicho papiro aparece un método para
calcular el área de un círculo. Este conocimiento, según el
copista, es anterior al siglo XIX a.C. La regla para calcular el
área dice: tomar el diámetro. Restar la novena parte. De esta
diferencia tomar nuevamente la novena parte y restar de la
anterior. Multiplicar el resultado por el diámetro. Tal es el
área del círculo.
Pi, letra griega (π) usada en matemáticas como el símbolo del
cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
El matemático griego Arquímedes afirmó correctamente que el
valor de Pi se encuentra entre 3 +1/7 y 3 + 10/71 .
El valor asignado a pi surgía de un círculo cuyo diámetro era un
número entero y su longitud un número muy próximo a otro entero.
Efectivamente, se tomaba como referencia una circunferencia de
diámetro igual a 7 y longitud muy próxima a 22.
22/7 = 3,1428571
En 1652, William Oughtred utilizó π /δ para referirse al
cociente entre la circunferencia y el diámetro, usando sin duda
la letra griega π (pi) para indicar la circunferencia o
periferia y la letra δ(delta) para indicar el diámetro.
El símbolo π fue usado por primera vez para representar esta
razón en 1706 por el matemático inglés William Jones, pero su
uso no se generalizó hasta su adopción por el matemático suizo
Leonhard Euler en 1737.
En 1882 el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró que pi
es un número trascendente, esto es, no puede ser la raíz de una
ecuación polinómica con coeficientes racionales. De esta manera,
Lindemann fue capaz de demostrar la imposibilidad de la
cuadratura del círculo algebraicamente o usando la regla y el
compás.
Aunque pi es un número irracional, es decir, tiene un número
infinito de cifras decimales, se puede calcular con la exactitud
deseada utilizando series. Pi ha sido calculada con cien
millones de cifras decimales utilizando ordenadores, aunque esta
precisión carece de utilidad práctica.
Quizá todavía no
te enteres de mucho, pero según vayas aumentando tu conocimiento
matemático, podrás llegar a comprenderlo mejor. Y si quieres
comprender mejor los logaritmos, puedes ver esta página:
>>Logaritmos<<
El número e llega
por primera vez a las matemáticas de forma muy discreta. Sucedió
en 1618 cuando, en un apéndice al trabajo de Napier sobre
logaritmos, apareció una tabla dando el logaritmo natural de
varios números. Sin embargo, no se reconoció que estos fueran
logaritmos en base e, ya que la base sobre la que se calculan
los logaritmos no surgió en la manera en la que se pensaba en
los logaritmos en aquel entonces. Aunque hoy consideramos a los
logaritmos como los exponentes a los que se debe elevar una base
para obtener el número deseado, esta es una forma moderna de
pensar. Regresaremos después a este punto. Dicha tabla en el
apéndice, aunque no tiene el nombre del autor, es casi seguro
que fue escrita por Oughtred. Unos años después, en 1624, e
estuvo a punto de volver a la literatura matemática pero no lo
logró. En ese año, Briggs dio una aproximación numérica al
logaritmo base diez de e sin mencionar a e específicamente en su
trabajo.
La siguiente posible aparición de e es de nuevo dudosa. En 1647,
Saint-Vincent calculó el área bajo una hipérbola rectangular. Si
reconoció o no la conexión con los logaritmos es debatible y,
aún si lo hubiera hecho, no había realmente razón para que se
encontrara explícitamente con el número e. Sin lugar a dudas,
hacia 1661 Huygens comprendió la relación entre la hipérbola
rectangular y el logaritmo. Examinó explícitamente la relación
entre el área bajo la hipérbola rectangular yx = 1 y el
logaritmo. Por supuesto, el número e es tal que el área bajo la
hipérbola rectangular entre 1 y e es igual a 1. Ésta es la
propiedad que hace que e sea la base de los logaritmos naturales
pero los matemáticos de la época no lo entendían, aunque se
estaban acercando lentamente a ello.
Huygens hizo otro avance en 1661. Definió una curva a la que
llamó 'logarítmica' pero no en los términos en los que nosotros
nos referimos a una curva exponencial, con la forma y = kax .
Nuevamente, a partir de esto sale el logaritmo base 10 de e, que
Huygens calculó a 17 decimales. Sin embargo, en su trabajo
aparece como el cálculo de una constante y no es reconocida como
el logaritmo de un número (cerca otra vez pero e sigue sin ser
reconocido).
Hay trabajos posteriores sobre los logaritmos en los que todavía
no aparece el número e como tal pero que contribuyen al
desarrollo de los logaritmos. En 1668, Nicolás Mercator publicó
Logarithmotechnia que contiene la expansión en serie de log (1+
x ). En este trabajo, Mercator usa el término 'logaritmo
natural' por primera vez para los logaritmos en base e. El
número e otra vez no aparece explícitamente y continúa escondido
en las cercanías.
Hasta donde
sabemos, la primera vez que el número e aparece explícitamente
es en 1690. En ese año, Leibniz le escribió una carta a Huygens
en la que usa la notación b para lo que nosotros hoy llamamos e.
Por fin el número e tenía nombre (aunque no sea el actual) y era
reconocido.
Existen numerosos
textos que sugieren que el número áureo se encuentra como
proporción en ciertas estelas Babilonias y Asirias de alrededor
de 2000 a. C. Sin embargo no existe documentación histórica que
indique que el número áureo fue usado conscientemente por los
arquitectos o artistas en la construcción de las estelas.
También es importante notar que cuando se mide una estructura
complicada es fácil obtener resultados curiosos si se tienen
muchas medidas disponibles. Además para que se pueda considerar
que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse
desde puntos relativamente obvios del objeto y este no es el
caso de los elaborados teoremas que defienden la presencia del
número áureo. Por todas estas razones Mario Livio concluye que
es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el número
áureo.[1]
El primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue
Euclides (c. 300-265 a. C.), quién lo definió de la siguiente
manera:
"Se dice que una línea recta está dividida en el extremo y su
proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el
mayor es al menor."
Euclides en Los Elementos.
Euclices demostró también que este número no puede ser descrito
como la razón de dos números enteros, es decir es irracional.
Platón (c. 428-347 a. C.) vivió antes de que Euclides estudiara
el número áureo, sin embargo, a veces ese le atribuye el
desarrollo de teoremas relacionados con el número áureo debido
que el historiador griego Proclo escribió:
"Eudoxo... multiplicó el número de teoremas relativos a la
sección a los que Platón dio origen."
Proclo en Un comentario sobre el Primer Libro de los Elementos
de Euclides.
Aquí a menudo se interpretó la palabra sección (τομή) como la
sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIX esta
interpretación ha sido motivo de gran controversia y muchos
investigadores han llegado a la conclusión de que la palabra
sección no tuvo nada que ver con el número áureo. No obstante,
Platón consideró que los números irracionales, descubiertos por
los pitagóricos, eran de particular importancia y la llave a la
física del cosmos. Esta opinión tuvo una gran influencia en
muchos filósofos y matemáticos posteriores, en particular los
neoplatónicos.
A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el número
áureo, Platón se dio a la tarea de estudiar el origen y la
estructura del cosmos, cosa que intentó usando los cinco sólidos
platónicos, construidos y estudiados por Teaetus. En particular,
combinó la idea de Empédocles sobre la existencia de cuatro
elementos básicos de la materia, con la teoría atómica de
Demócrito, para Platón cada uno de los sólidos correspondía a
uno de las partículas que conformaban cada uno de los elementos.
Según Platón, la tierra estaba asociada al cubo, el fuego al
tetraedro, el aire al octaedro, el agua al icosaedro, y
finalmente el Universo como un todo, estaba asociado con el
dodecaedro.
En 1509 el matemático y teólogo Luca Pacioli publica su libro De
Divina Proportione (La Proporción Divina), en el que plantea
cinco razones por las que considera apropiado considerar divino
al Número áureo:
La unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con
la unicidad de Dios.
El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta,
Pacioli lo asocia con la Trinidad.
La inconmesurabilidad; para Pacioli la inconmesurabilidad del
número áureo, y la inconmesurabilidad de Dios son equivalentes.
La Autosimilaridad asociada al número áureo; Pacioli la compara
con la omnipresencia e invariabilidad de Dios.
Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al
Universo a través de la quinta esencia, representada por el
dodecaedro; el número áureo dio ser al dodecaedro.
En 1525, Alberto Durero publica Instrucción sobre la medida con
regla y compás de figuras planas y sólidas donde describe cómo
trazar con regla y compás la espiral basada en la sección áurea,
que se conoce como “espiral de Durero”.
El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), desarrolló un modelo
Platónico del Sistema Solar utilizando los sólidos platónicos, y
se refirió al número áureo en términos grandiosos
“La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de
Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y
su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de
oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa”
Johannes Kepler en Mysterium Cosmographicum (El Misterio
Cósmico).
El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de oro,
para referirse a este número lo hace el matemático alemán Martin
Ohm, hermano del célebre físico Georg Simon Ohm, en la segunda
edición de 1835 de su libro Die Reine Elementar Matematik (Las
Matemáticas Puras Elementales). Ohm escribe en una nota al pie:
"Uno también acostumbra llamar a esta división de una línea
arbitraria en dos partes como éstas la sección dorada."
Martin Ohm en Die Reine Elementar Matematik (Las Matemáticas
Puras Elementales).
A pesar de que la forma de escribir sugiere que el término ya
era de uso común para la fecha, el hecho de que no lo incluyera
en su primera edición sugiere que el término pudo ganar
popularidad alrededor de 1830.
En los textos de matemáticas que trataban el tema, el símbolo
habitual para representar el número áureo fue τ del griego τομή
que significa corte o sección. Sin embargo, la moderna
denominación Φ ó φ, la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr
en honor a Fidias ya que ésta era la primera letra de su nombre
escrito en griego (Φειδίας). Este honor se le concedió a Fidias
por el máximo valor estético atribuido a sus esculturas,
propiedad que ya por entonces se le atribuía también al número
áureo. Mark Barr y Schooling fueron responsables de los
apéndices matemáticos del libro The Curves of Live, de Sir
Theodore Cook.
Su fórmula es:
|