Recordemos lo que habíamos dicho:

"Un número irracional es un número decimal infinito no periódico"

"Un número fraccionario puede a su vez ser decimal exacto o periódico"

Lo primero que vamos a hacer es definir lo que es un número decimal exacto y un número decimal periódico para que no lo confundáis con un número irracional.

Todo número racional admite una representación decimal, que es la que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador, por ejemplo 1/2 tiene como expresión decimal 0.5 , 3405/25=136.2 y 1/3= 0.33333.......
Esto puede dar lugar a dos tipos de expresiones decimales, las exactas y las periódicas. Éstas últimas pueden a su vez dividirse en periódicas puras o periódicas mixtas.
 

Expresión decimal exacta, es aquélla que tiene un número finito de términos. Por ejemplo: 0.5, 1.348 ó 367.2982345
Esta expresiones surgen de números racionales cuyo denominador (en la expresión irreducible) sólo contiene los factores 2 y 5. Por ejemplo 1349/1000, 40/25, ...
 

Expresión decimal periódica es aquélla que tinene un número infinito de cifra decimales, pero de modo que un grupo finito de ellas se repite infinitamente, de forma periódica, por ejemplo 0.333333....., 125.67777777....... ó 3.2567256725672567......
Surgen de fracciones cuyo denominador contiene factores distintos de 2 y 5, por ejemplo, 1/3=0.33333.....
La parte que no se repite se denomina anteperíodo y la que se repite, período.
Periódica pura es aquélla que no tiene anteperíodo.
Periódica mixta es aquélla que sí tiene anteperíodo.

Método para obtener fracciones a partir de números decimales.

• 5.67

Es un número decimal exacto, y tiene dos decimales. En el numerador ponemos el número sin coma, y en el denominador un 1 seguido de tantos ceros como decimales haya, en este caso, 2, es decir:

• 5.6767676767676767676767 ....

Es un número decimal periódico puro. La parte decimal periódica consta de dos números (67). En el numerador ponemos el número con la parte entera y la parte decimal, y le restamos la parte entera. Dividimos por tantos 9 como cifras tenga el período(en este caso 2), es decir:

• 5.677777777777777777777777777....

Es un número decimal periódico mixto, donde el anteperíodo es una cifra, el 6, y el  período es otra cifra, 7. En el numerador ponemos el número con la parte entera, el  anteperiodo y el período y le restamos la parte entera con el anteperiodo; en el denominador se pone tantos 9 como cifras tenga el período y tantos 0 como cifras tenga el anteperiodo, es decir:

Las operaciones con irracionales son las mismas en general que la de los números reales, suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.Suma, resta, multiplicación, y división serán las que veamos de momento, porque pontenciación y radicación no las verás hasta elsiguiente tema.

Vamos a trabajar con el número π, el número aúreo o Φ, y el número e , cuyos valores , aplicaciones y alguna curiosidad puedes ver en Aplicaciones

¿Cómo operar?

Normalmente los números irracionales se aproximan, manteniendo dos decimales, es decir, en vez de 3.1415,  escribiremos 3.14, y con eso sumamos, restamos, multiplicamos o dividimos.

Ejemplo:

Para operaciones como la multiplicación y la división, se hace como te han enseñado hasta ahora, primero aproximas con dos decimales, y luego operas, como si se tratara de un número decimal normal. Ejemplo:

Los números irracionales funcionan con las mismas propiedades que los números racionales, esto es, propiedad conmutativa, asociativa, y distributiva. Veremos el ejemplo de estas propiedades aplicadas a la suma.

• Asociativa:

• Conmutativa:

• Distributiva:

Estas tres propiedades se pueden aplicar también a la multiplación, y la resta sólo cumple la propiedad distributiva.

También Cumplen las propiedades neutro e inverso, que puede que no lo hayas visto, pero te lo explicaremos:

• Neutro

Es decir, cuando uno de los sumandos es 0, el total es la suma de los otros sumandos con valor distinto de 0.

• Inverso

Es decir, al multiplicar un número por su inverso, obtenemos una fracción cuyo numerador y denominador son iguales, en este caso el resultado es 1.

Hace falta destacar que muchos números irracionales son raíces de otros números, y las operaciones se deben hacer según las propiedades de las raíces para no complicarte tanto, pero eso no lo verás hasta el tema 3.

A lo largo de la historia, algunos matemáticos se han intentado acercarse al número π mediante operaciones con números racionales. Puedes ver algunos ejemplos en Aplicaciones